2, 5, 9, 41, 44…
Liczba mickiewiczowska, czyli 44, ma przynajmniej kilka ciekawych własności matematycznych. W większości wiążą się one z przynależnością do jakiejś „elity”. Czasem jest to elita mocno zakręcona i dość liczna, jak np. liczby Stormera („o” powinno być „przekreślone”, ale edytor nie chce mi zaakceptować tej skandynawskiej literki) :
n jest liczbą Stormera, jeśli największy czynnik pierwszy liczby n^2 + 1 jest nie mniejszy niż 2n.
Liczbami Stormera, do których należy 44, jest większość liczb, więc ich elitarność wydaje się wątpliwa.
Znacznie bardziej wyjątkowa i nieco mniej zakręcona jest inna elitarna cecha 44.
Po odjęciu od liczby x sumy s jej cyfr, otrzymujemy kwadrat k1; po dodaniu s do x także powstaje kwadrat – k2. Jakie może być x?
Łatwo znaleźć trzy rozwiązania: 2, 8 i 17. Nietrudno też dowieść, że większych x nie ma, bowiem różnica między k2 i k1, która powinna być równa 2s, szybko staje się większa od 2s. Warto przy tym zauważyć, że k1 i k2 nie są kolejnymi kwadratami, między nimi musi być jeszcze jeden kwadrat.
A teraz nieco inaczej.
Po odjęciu od liczby x sumy s jej cyfr, otrzymujemy kwadrat k1; po dodaniu s do x także powstaje kwadrat – k2, ale zapisany wspak. Jakie może być x?
Początek rozwiązania to 2, 5, 9, 41…, a jako kolejne pojawia się 44, ponieważ:
44 – 8 = 6^2 oraz 44 + 8 = 52, czyli 5^2 wspak.
Piszemy o tym, co ważne i ciekawe
Nieźle ubezpieczeni
Raporty Biura Bezpieczeństwa PZU na temat doradców stały się podstawą złożenia zawiadomień do prokuratury. Zawierają jeden wspólny wniosek: „Brak jakichkolwiek dowodów na wykonywane działania, zadań czy świadczonej pracy na rzecz PZU SA”. Czy ktoś to rozliczy?
Czy to koniec? Nic nie wskazuje na to, że dalej nic nie może się pojawić. A zatem jakie jest następne x?
Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co kilka dni.
Komentarze
Pominął Pan 41. Następne liczby w tym szeregu to 4788,69725. Odrzuciłem liczby, które zapisane wspak dają kwadrat z zerami prowadzącymi np. 593 (576, 016).
Dzięki za 41. Poprawiłem.
Nie odrzucałbym tych z zerami na początku, są takie „podstępne”, ale to rzecz gustu.
mp
72, szukam dalszych
To jest OK, ale wtedy, gdy jest odwrotnie, czyli gdy różnica jest wspak,a suma wprost.
mp
OK, moja nieuwaga…
suma jest wspak:
593, 1782, 4788, 9233, 10412, 46683, 69725, 142902
wspak jest różnica:
72, 432, 944, 12527, 127431, 429005
dla x < 999999
Teraz jest pięknie, nadprogramowo i… prologowo (?)
mp
Następną w kolejności liczbą jest liczba super pierwsza x=593, a po niej pojawia się x=4788.
A teraz z innej beczki liczb.
N jest liczbą naturalną. Wiemy (zostało udowodnione), że N istnieje, ale nie potrafimy podać ani jednego przykładu takiej liczby. Co to za liczby?
Pytam, bo wiedziałem, ale zapomniałem, albo, nie wiem, a chciałbym wiedzieć.
Andrzeju, zabił mi Pan ćwieka tą inną beczką, choć coś mi świta.
Zanim w pełni zaświta podpowiem tylko (ze starej beczki), że między 593 a 4788 jeszcze coś się ukrywa.
mp
Akurat w tym przypadku stara, dobra Java okazała się przydatniejsza…
Rzeczywiście, między 593 a 4788 jest jeszcze 1782.
Nastepna jest 593.
To tez ciekawa liczba, bo pierwsza i to nie byle jaka http://en.wikipedia.org/wiki/593_%28number%29
a
593
593-17=576, 593+17=610, 016=16
.. 593,1796,4019,10512,16814
Ciekawe czy ciąg jest ograniczony.
P.
593 pasuje, ale dalej coś nie gra, bo np. 1796 – 23 = 1773 nie jest kwadratem.
mp
Do 10 mln jest 15 takich liczb
2 0 4
5 0 01
9 0 81
41 36 64
44 36 25
593 576 016
1782 1764 0081
4788 4761 5184
9233 9216 0529
10412 10404 02401
46683 46656 01764
69725 69696 45796
142902 142884 029241
1299632 1299600 4669921
4435268 4435236 0035344
5225823 5225796 0585225
6906413 6906384 2446096
Brutalny algorytm szybko odpowiedział 2,5,9,41,44,593,1782,4788,9233,10412,46683,69725 i go zakończyłem bo kazał na siebie za długo czekać.
Może później go „odbrutalnię” i dostarczę więcej wyników.
Uwaga: 593 + suma jej cyfr daje 610 które po obróceniu traktuję jako 16. Nie wiem czy spodziewał się Pan takiego traktowania dla tych liczb czy nie.
A oto napisany naprędce program:
squares = map (^2) [0..]
is_square n = elem n (takeWhile ( Integer
dig_sum n = count 0 n where
count c 0 = c
count c x = count (c + x `mod` 10) (x `div` 10)
to_int :: String -> Integer
to_int = read
rev_int :: Integer -> Integer
rev_int = to_int . reverse . show
sol :: [Integer]
sol = filter (\n -> (is_square (n – dig_sum n)) && (is_square (rev_int (n + dig_sum n)))) [1..]
Pozdrawiam,
Paweł Chwała
Tak, zera nieznaczące we „wspakach” nie były mi obce (wszak pojawia się już przy 5) – zaakceptowałem je, a nawet polubiłem, bo są jakby podstępne.
mp
Niestety kod programu z nieznanych mi przyczyn nie wyświetlił się poprawnie.
Blogowy edytor jest brutalny dla niektórych znaków i nie bardzo wiem, jak go zdyscyplinować.
mp
Miałem odbrutalnić algorytm alte go tylko troszkę przyspieszyłem.
Dla zainteresowanych wrzucam tutaj: https://gist.github.com/2926449
Liczy wszystkie liczby o wspomnianej właściwości mniejsze od 10^8+1.
Wcałkiem sporym czasie znajduje 2,5,9,41,44,593,1782,4788,9233,10412,46683,69725,142902,1299632,4435268,5225823,6906413
Pewnie napisany w jakimś rozsądniejszym języku policzyłby to szybciutko.
Przeglądam po koleji wszystkie liczby i sprawdzam dla nich właściwość. A można by też przeglądać wszystkie kwadraty i sprawdzać czy dla nich istnieje taka liczba – takie podejście mogłoby być szybsze.