Ostatniość
Przynajmniej kilka tysięcy ludzi na świecie uważa, że Ziemia jest płaska. Mają na to dowody i należą do organizacji „płaskoziemców”, a wcale nie mają wariackich papierów. Przypominam sobie o tym, gdy czytam niektóre maile od czytelników „Wiedzy i Życia” i „Świata Nauki”. Ich autorzy próbują obalać znane od dawna twierdzenia lub hipotezy albo formułować nowe, pseudonaukowe teorie i pojęcia, które w najlepszym wypadku są śmieszne.
Ostatnio ubawiła mnie propozycja teorii liczb ostatnich, która miałaby stanowić silne przeciwieństwo teorii liczb pierwszych (poniekąd słabym przeciwieństwem są liczby złożone). Zabawność, zwłaszcza związana z nazwą tego pomysłu, wynika z niefortunnego polskiego określenia „liczby pierwsze” (tłumaczenie z łaciny zaproponowane w XVI w. przez księdza i arytmetyka Tomasza Kłosa). W Anglii są to liczby główne lub pierwotne (prime), w Rosji prostyje (tu przeciwieństwem i odpowiednikiem „ostatnich” mogłyby być liczby krzywe). W innych językach bywa różnie, choć często tak dwuznacznie, jak w polskim.
Jeśli dobrze zrozumiałem treść wspomnianego maila, „ostatnimi” nazwane zostały liczby podzielne przez każdą z liczb od 1 do 9. Pionier teorii (podejrzewam, że uczeń szkoły podstawowej) podał, że najmniejszą taką liczbą jest 5040, co źle mu wróży jako teoretykowi. Trudno jednak wykluczyć niedopowiedzenie albo zbłądzenie, bo nie jest już tak żartobliwa koncepcja, aby liczbami „ostatnimi” nazwać tworzące ciąg, w którym każda n-ta jest najmniejszą z n dzielnikami: 1, 2, 4, 6, 16, 12, 64, 24, 36, 48,… Ciąg ten jest w encyklopedii OEIS (A005179) wzbogacony o liczne adnotacje, więc stanowi temat całkiem poważny.
Równie poważnie wypada potraktować jako „ostatnie” liczby stanowiące najbardziej wyraziste przeciwieństwo liczb pierwszych, zwane wysoce złożonymi. Tworzą one ciąg, w którym każda następna ma więcej dzielników niż dowolna liczba mniejsza od niej: 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120,… (A002182).
Proszę także o poważne potraktowanie poniższego ciągu-zagadki, choć jest on nieco podstępny i trudny do rozszyfrowania, ale (dla ułatwienia) wiąże się z powyższym tematem:
13, 15, ?, 24, 26, 37, 39, 58, 79, ?, 113, 115, 117,…
Jakie dwie liczby zastępują znaki zapytania i jaka reguła rządzi ciągiem?
PS wieczorem 22.08 do ciągu dopisałem brakujące 115.
Komentarze
Rozwiązanie najpewniej:
17 i 107.
Reguła: bierzemy liczby, które po odwróceniu cyfr mają tyle samo dzielników dodatnich. Dla uniknięcia dubli zapisujemy mniejszą z pary, np.:
13 ↔ 31 oba są pierwsze, więc mają po 2 dzielniki.
24 ↔ 42 oba mają po 8 dzielników.
107 ↔ 701 oba są pierwsze, więc mają po 2 dzielniki.
117 ↔ 711, oba mają po 6 dzielników.
Czyli ciąg idzie tak:
13, 15, 17, 24, 26, 37, 39, 58, 79, 107, 113, 117, …
Przy tej regule 115 też pasuje, bo 115=5·23, a 511=7·73, więc obie liczby mają po 4 dzielniki. Wygląda więc, że to nie jest to, ale rozwiązanie jest zgodne z duchem wpisu, to go podaję.
Sprawdzamy czy liczba zapisana odwrotnie
xyz -> zyx
posiada tą samą liczbę dzielników, przy czym omijany te, dla których zapis odwrotny to ta sama liczba oraz te których odwrotność już jest w ciągu.
Brakuje
17 oraz 107
https://oeis.org/A062895