Po co lekarzowi matematyka?

15 maja 2025
Blog szalonych naukowców
Rozpad leku opisuje funkcja wykładnicza. PeterQ, za Wikimedia Commons, BY-SA 2.5

Za nami część matur i coroczna nieprowadząca do żadnej poprawy dyskusja. Za łatwe, za trudne, polski bez sensu, łatwo popełnić błąd kardynalny, nie da się popełnić błędu kardynalnego… Co roku też pojawia się postulat likwidacji egzaminu z matematyki.

W sieci wybrzmiał przede wszystkim głos matki psycholożki, że maturę z matematyki trzeba zlikwidować, bo jest trudna, powoduje stres, a spora część populacji cierpi na dyskalkulię. Przejrzawszy komentarze, znalazłem także głosy, że nie każdy idzie na politechnikę, a np. na medycynie czy psychologii matematyka w żaden sposób się nie przyda.

Nic bardziej mylnego.

Ale po co właściwie lekarzowi matematyka? Nie studentowi medycyny, od którego na studiach wymagają rozwiązywania zadań chemicznych i statystycznych, ale pracującemu z pacjentami klinicyście?

Przede wszystkim wbrew utartemu i wpajanemu w szkołach poglądowi matematyka nie polega na liczeniu. Im bardziej dorosła, skomplikowana matematyka, tym liczb w zasadzie jest mniej. Istnieją takie działy, gdzie nie tylko trudno natknąć się na obliczenia czegokolwiek, ale liczby spotyka się rzadko. Przykładem teoria grup, ciał (jądro homomorfizmu pierścienia jest ideałem itp.). Matematyka polega na myśleniu i wyciąganiu pożądanych informacji z informacji już dostępnych.

No dobrze, ale praktykujący lekarz nie będzie stosował teorii grup. Jemu oprócz logicznego myślenia trochę liczenia istotnie się przyda w codziennej pracy.

Nie mówię tylko o banalnym przeliczaniu, ile tabletek wypisać pacjentowi, by starczyło do kolejnej konsultacji. Zbyt mało oznacza, że leku zabraknie, a nagłe odstawienie może spowodować znaczne pogorszenie stanu zdrowia, z hospitalizacją i ryzykiem zgonu włącznie. Wypisanie za dużo, zwłaszcza leków darmowych dla dzieci bądź seniorów, jest zabronione. Prosty przelicznik „jedna tabletka dziennie, opakowanie starcza na miesiąc” często nie działa. Jeśli zwiększamy dawkę co kilka dni o stałą wartość, mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym, a wymagana liczba tabletek wyraża się po części sumą szeregu.

Z tym akurat zdolny uczeń podstawówki sobie poradzi. Studenci i potem lekarze natomiast nie rozumieją zwykle rozpadu leków. Przychodzi pacjent do poradni i mówi: panie doktorze, leki skończyły mi się trzy dni temu. Co robić? Nie wystarczy powiedzieć: wracamy do poprzedniego dawkowania, jeżeli dochodziliśmy do niego, stopniowo zwiększając dawkę przez miesiąc. Zacząć ponownie od stawki początkowej, od środka, od dawki docelowej? Wszystko zależy od tego, ile leku pozostało we krwi. To nagłe zmiany stężania w obie strony grożą działaniami niepożądanymi.

Najprostszy model rozpadu leku, tzw. kinetyka 1. rzędu, obejmuje dokładnie te same wzory co rozpad pierwiastka promieniotwórczego (i dowolny inny rozpad niezależny od czynników zewnętrznych). Z tym że radioaktywny izotop rozkłada się całkowicie niezależnie od otoczenia, więc w zasadzie dokładnie wedle wzorów, podczas gdy w przypadku leku to jedynie lepsze bądź gorsze przybliżenie.

Nikt nie wymaga oczywiście, aby lekarz w trakcie rozmowy z pacjentem rozwiązywał równania różniczkowe, do czego sprowadza się kinetyka chemiczna. Natomiast rozwiązanie równań pierwszego rzędu pokazuje, że w danym czasie zawsze rozpada się ta sama część pierwotnej ilości substratu (wyrażamy ją stężeniem, masą bądź liczbą cząsteczek, w medycynie to pierwsze jest najwygodniejsze).

Studenci uczą się na pamięć, że leku nie ma w organizmie po pięciu okresach półtrwania. Ale potem mówią o tym pojęciu związanym z kinetyką 1. rzędu w sytuacjach, kiedy lek ewidentnie nie rozpada się wedle jej równań. Oczywiście można zmierzyć czas, po którym danej substancji będzie połowę mniej, jednak tylko w kinetyce 1. rzędu ten czas będzie stały.

Weźmy przykład znanego leku przeciwdepresyjnego: sertraliny. W przypadku małych dawek jej rozpad można opisać kinetyką 1. rzędu z okresem półtrwania ok. 24-26 godzin. Oznacza to, że po jednej dobie stężenie spada mniej więcej do połowy, po dwóch do ćwiartki, po trzech do jednej ósmej początkowej dawki. Po pięciu dobach (pięć okresów półtrwania) osiągnie ono 1/32. To mniej niż 5 proc. początkowego stężenia – wtedy można stwierdzić, że leku praktycznie w organizmie nie ma. A więc jeśli pacjent nie bierze leku od pół tygodnia, prawie nic mu w organizmie nie zostało – lek raczej nie działa, ale jakaś resztka, mogąca jeszcze ewentualnie wchodzić w interakcje, pozostała.

A właśnie: podawać lek raz czy dwa razy dziennie? Spadek o 50 proc. w ciągu doby jest dość duży, więc będziemy się raczej starać podawać sertralinę rano i wieczorem, ale część pacjentów bez problemu pójdzie na dawkowanie raz dziennie. To jak bardzo spadnie stężenie przez pół doby? Zauważmy, że po dwóch takich okresach obniży się dwukrotnie (uczulam: końcowe stężenie otrzymujemy, dzieląc przez dwa, nie odejmując), więc po jednym musi spaść o pierwiastek z dwa razy. Ogólnie podnosimy dwójkę do potęgi równej liczbie okresów półtrwania (pierwiastek drugiego stopnia to potęga 1/2). Tak działa funkcja wykładnicza.

A jeśli pacjent przyjmował fluoksetynę? Tutaj sprawa jest znacznie bardziej skomplikowana. Związek ulega w wątrobie demetylacji do aktywnego metabolitu. Generalnie można jednak przyjąć, że okres półtrwania wynosi mniej więcej 100-120 godzin. Jeżeli pacjent zużył swój zapas pięć dni temu (5 x 24 = 120 godzin), stężenie spadło mu do połowy, tak jak codziennie w przypadku przyjmowanej raz dziennie sertraliny. Lek więc nadal działa, choć istotnie słabiej. Pominięcie jednej dawki oznacza spadek 2 do potęgi 0,4 (iloraz 48 na 120 godzin). Czyli początkowe stężenie dzielimy przez liczbę mniejszą niż pierwiastek z dwóch. W tym wypadku pojedyncze zaniedbanie ze strony pacjenta w zasadzie nie wpływa na leczenie. Oczywiście lek przyjmowany jest raz dziennie.

Kolejne dość częste pytanie. Będzie Sylwester. Będzie (w sumie była) majówka. Zapraszają mnie na osiemnastkę. Czy na inne urodziny, imieniny (niektórzy mówią otwarcie: melanż). Mogę wypić? Pytają ci bardziej odpowiedzialni. Średnio odpowiedzialni zazwyczaj pomijają dawkę leku w dniu picia (nieodpowiedzialni łączą jedno z drugim, co przy niektórych lekach bywa stosunkowo bezpieczne, a przy innych może się skończyć na OIOM-ie). Można policzyć, jaki jest efekt pomijania dawki przed imprezą. Żeby nie dopuścić do żadnych interakcji, sertralinę należałoby odstawić pięć dni przed piciem, a fluoksetynę – możecie policzyć sami – po jakichś 25 dniach. Po takim czasie w liceum to już będzie kolejna osiemnastka.

To tylko najprostsze i najczęstsze przykłady problemów, z którymi lekarz z poradni spotyka się codziennie.

Ponadto ciąży na nim ustawowy obowiązek kształcenia. Wiedza medyczna zmienia się cały czas, a powstaje dzięki badaniom opisanym w publikacjach naukowych. Prace takie opierają się często na dość poważnej statystyce, znacznie przekraczającej nie tylko liczenie średniej, ale cokolwiek, czego można wymagać na maturze.

Gwoli uzupełnienia także psycholog, wedle niektórych humanista, statystyki musi używać na co dzień. Badanie choćby ilorazu inteligencji, specyficznych zaburzeń rozwoju umiejętności szkolnych (wspomniana, w rzeczywistości dość rzadka, dyskalkulia, znacznie częstsza dysleksja, dysortografia dysgrafia) wymaga zastosowania statystyki. A analiza wyniku wymaga wiedzy, w jaki sposób powstał. Naprawdę dokładny wynik liczbowy ilorazu inteligencji nie ma znaczenia – powstał przypadkiem. Liczy się 95-proc. przedział ufności tego wyniku. Którego niestety prawie nigdy się nie dostaje.

W dzisiejszym świecie rządzonym prawami matematyki i opisywanym przez mniej lub bardziej matematyczną naukę ani medycyna, ani psycholog bez matematyki nie istnieją. Dlatego uczcie się matematyki, licealiści, bez względu na to, jakie studia wybierzecie.

Marcin Nowak

PS Oczywiście powyższe rozważania na temat kinetyki leków są olbrzymim uproszczeniem. Nie uwzględniają kinetyki reakcji enzymatycznych Michaelisa-Menten wyprowadzanej dzięki przybliżeniu stanu stacjonarnego, różnic osobniczych, wpływu interakcji farmakokinetycznych i farmakodynamicznych oraz kilku innych ważnych kwestii.

PPS Podczas pisania tekstu miałem ochotę wspomnieć, że matematyka może się przydać nie tylko lekarzowi, ale też politykowi czy historykowi – choćby do policzenia, ile posiada mieszkań – ale to już chyba byłoby kopanie leżącego.