Dowiedź
Co pewien czas zastanawiam się nad różnicą między zadaniem matematycznym a łamigłówką matematyczną. Jednak właściwie nic nowego nie odkrywam – sprawa tradycyjnie sprowadza się do stwierdzenia, że różnica jest płynna i subiektywna. Jest także kwestią umowną, bo można np. przyjąć, że zadanie to proste ćwiczenie, sprawdzające i utrwalające nabytą wiedzę, a łamigłówka to coś bardziej zakręconego. Na czym polega „zakręcenie”, to temat do dyskusji, ale o tym przy innej okazji. Tymczasem doszedłem do wniosku, że RASOWE zadania matematyczne mają pewną cechę, która w łamigłówkach jest „wynaturzeniem”. Mam na myśli DOWÓD. W zdecydowanej większości takich rasowych zadań należy czegoś dowieść, natomiast końcowym efektem łamigłówki jest prawie zawsze tylko jakiś krótki tekstowy lub rysunkowy konkret.
Piszę o tym nie bez kozery. 15 listopada zamieściłem w „Na pamięć” prostą łamigłówkę, po której otrzymałem sporo maili z prośbą o… dowód.
Z trzech kwadratów utworzono prostokąt, w którym następnie oznaczono trzy kąty – a, b i c. Co jest większe – kąt c czy suma kątów a i b?
Piszemy o tym, co ważne i ciekawe
Boski biznes
Ewangelizują w mediach społecznościowych, na TikToku, Instagramie, YouTube, Facebooku. Coraz częściej to młode kobiety, które z głoszenia słowa Bożego zrobiły sposób na życie.
Prośby o dowód mnie zaskoczyły, bo rozwiązanie sprowadza się do szkolnego wzoru z trygonometrii. Podejrzewam, że wiele osób nie pamiętało tego wzoru i szukało rozwiązania czysto geometrycznego. Takie rozwiązanie, czyli dowód, że między sumą kątów a i b oraz kątem c zachodzi określona zależność – istnieje i jest dość oryginalne, sprytne i proste. Proszę spróbować je znaleźć.
Komentarze
kąt C ma 45 stopni – chyba nie trzeba udowadniać
suma kątów A+B również ma 45 stopni – wynika to ze wzoru na sumę kotangensów.
ctg(A+B)= (ctgA * ctgB – 1) / (ctgA + ctgB)
ctgA= 3/1 = 3
ctgB = 2/1 = 2
ctg(A+B) = (3*2-1) / (3+2) = 1
więc A+B = 45 stopni
ze wzoru na cotangens sumy miało być oczywiście a nie sumę cotangensów
Hmmm… dla kątów ‚a’ i ‚b’ w przedziale 0-90st zachodzi nierówność:
a>b => tg(a)>tg(b), wynika to wprost z monotoniczności funkcji tangens w interesującym nas przedziale.
W naszym przypadku mamy 1/3 + 1/2 < 1/1,
czyli 5/6<1, a więc a+b<c
Nad dowodem geometrycznym trzeba będzie się chwilkę dłużej zastanowić.
P.S. kurcze po przeliczeniu kalkulator powiedział co innego…. hmmm… suma jest równa 45st… ciekawe…
Kąt C ma 45 stopni.
Rysunek: http://www.gg.pl/dysk/lWtKQhgLCjhQlGtKQhgLGhE/dowiedz.png
Na rysunku widzimy kwadrat, którego wierzchołki umieszczono w punktach kratowych. Kąt pomiędzy niebieską przekątną kwadratu a żółtym bokiem kwadratu ma 45 stopni.
Ten kąt jest sumą dwóch kątów: pomiędzy prostymi niebieską i zieloną oraz zieloną i żółtą. Łatwo zauważamy, że pierwszy z nich ma miarę równą kątowi B, a drugi miarę równą kątowi A.
Obeszło się elementarnie, bez trygonometrii. Co to w ogóle jest trygonometria?
Mam przygotowany rysunek, ale nie umiem go wkleić. Spróbuję opisowo.
Na siatce kwadratowej rysujemy prostokątny trójkąt równoramienny, którego przyprostokątne są przekątnymi prostokątów o bokach 1 i 2 długości boku kwadratu siatki oznaczanej dalej przez A. Przeciwprostokątna jest przekątną prostokąta o bokach 1A i 3A. W każdym wierzchołku kąta ostrego narysowanego trójkąta mamy poglądowe rozwiązanie zadania: kąt trójkąta jest połową kąta prostego (z własności trójkąta prostokątnego i równoramiennego). Reszta z kąta prostego kwadratu siatki w tym wierzchołku to właśnie suma szukanych kątów.
Może chodzić np. o wzór na sumę tangensów: tga+tgb = sin(a+b)/(cosa*cosb), który można łatwo wyprowadzić korzystając z definicji tangensa i wzoru na sinus sumy. U nas tg a=1/3, tg b = 1/2, stąd suma jest 5/6. Kosinusy są odpowiednio 3/sqrt(10) i 2/sqrt(5). Jak się podstawi do wzoru, okaże się, że sin(a+b) = 1/sqrt(2), czyli a+b = 45 stopni.
http://postimg.org/image/quqhk81j9/
Czerwone linie są ewidentnie prostopadłe, a z symetrii widać, że zielona jest dwusieczną kąta między nimi.
Narysujmy trzy identyczne kwadraty bezpośrednio poniżej rysunku, tworząc siatkę kwadratów 3*2. Oznaczmy węzły siatki, poczynając od góry: (wiersz górny:) A,B,C,D; (wiersz środkowy:) E,F,G,H; (wiersz dolny:) I,J,K,L. Przekątna EK wyznacza kąt KEH równy danemu kątowi CEH=kąt(b). Łącząc punkty D i K otrzymuję trójkąt równoramienny prostokątny DEK (DK=KE=SQR(5), ED=SQR(10)), w którym kąt DEK=kąt EDK=PI/4. Kąt DEK=kąt(a)+kąt(b)=PI/4=kąt(c).
cbdo.
komentarze uwolnione, znaczy… błędne?
BTW problem podobny do tego z Drabiną Jakubową
Komentarze nie są błędne tylko są dowodami (rozwiązaniami) trygonometrycznymi, a chodzi o dowód geometryczny.
mp
(i+2)(i+3) = 5 + 5i, czyli a+b=c
a tera gełometria.
Z lewego dolnego narożnika w prawo i do góry pod kątem 45 stopni względem podstawy rysujemy odcinek o długości 2 przekątnych kwadratu.
Potem zakręcamy o 90 stopni i rysujemy w prawo i dól odcinek
o długości 1 przekątnej, dochodząc do prawego górnego rogu prostokąta. W ten sposób dorysowaliśmy trójkąt prostokątny o stosunku przyprostokątnych 2:1 oparty na przekątnej prostokąta widocznego na rysunku (o bokach 1 i 3). Kąt przy
lewym dolnym wierzchołku nowego trójkąta równa się b z podobieństwa trójkątów. Skoro bok dorysowanego trójkąta leży na przekątnej lewego kwadratu, to a + b = 45 stopni = c. c.b.d.o.
Dzień dobry, (jak zwykle) bardzo przyjemna łamigłówka. Oto rozwiązanie przy pomocy jednego rysunku na kartce w kratkę: https://www.desmos.com/calculator/08ub5f018b
http://s29.postimg.org/6c13vkirr/Untitled.png
Jak widać z rysunku: mamy tu trójkąt równoramienny z kątem 90st przy równych ramionach, co za tym idzie, dwa pozostałe kąty są równe i wynoszą:
(180-90)/2=45;
Z rysunku widać, że jeden z tych 45 stopniowych kątów to suma kątów ‚a’ i ‚b’.
c.n.d.
Umieszczam rysunek w układzie współrzędnych XOY.
Kwadrat o bokach równych długości przekątnej prostokąta 3×1 ma np wierzchołki: A(-2,0), B(1,1), C(0,4), D(-3,3).
Kwadrat o bokach równych długości przekątnej prostokąta 2×1 ma wierzchołki: B(1,1), F(2,3), C(0,4), E(-1,2).
Kąt BCO=a, kąt ACO=b, kat ACB=a+b=45 stopni (kąt między bokiem kwadratu, a jego przekątną)
Przecież mój dowód jest geometryczny, tylko że opisowy
Muszę jakoś wkleić rysunek?
Nie, jest OK, dlatego nie jest uwolniony.
mp
Trudno opisać dowód graficzny. Jeden obrazek jest tu lepszy niż 1000 słów:
https://docs.google.com/drawings/d/1AUcOrpQGzbYXSBjBqz5b7YTSxuNG4mfwhbbKJBt88Rk/edit?usp=sharing
Ale słowami ująłbym to tak:
Wyobraźmy sobie drugi szereg 3 kwadratów ułożony na tym pierwszym.
Z wierzchołka, w kórym jest kąt „a” poprowadźmy przekątną przez dwa kolejne kwadraty.
A na koniec jeszcze jedną przekątną w górnym prawym kwadracie w kierunku „Szczecin-Rzeszów”
Jak już to mamy narysowane, widzimy, że w dolnym lewym kwadracie mamy wierzchołek podzielony na 3 kąty. Są to a, b i c.
„a” to jest ten wyjściowy kąt z zadania.
„c” to jest 45 stopni przy przekątnej kwadratu, tak samo jak w prawym dolnym rogu.
A między nimi jest kąt „b”, bo ma taką samą proporcję przyprostokątnych jak ten z zadania.
Czyli a+b+c=90
A że c=45, to a+b= 45 = c
Wprowadźmy oznaczenia wierzchołków: A – z kątem a; B – z kątem B; C z kątem C; D – punkt wspólny żółtych (pomarańczowych? ugierowych?) linii, czyli prawy górny róg obrazka.
Ponadto niech sqrt(x) oznacza pierwiastek kwadratowy z liczby x.
Da się zauważyć, że trójkąty ACD i BCD są podobne – ich boki są w proporcji 1 : sqrt(2) : sqrt(5) (a współczynnik skalowania to sqrt(2)).
Zatem kąty w obu trójkątach to odpowiednio a, b i (Pi – c). Znając sumę kątów trójkąta możemy zapisać równanie:
a + b + Pi – c = Pi, skąd a + b = c.
Oznaczmy wierzchołki tak jak na rysunku. Natomiast długość boku każdego kwadratu niech będzie równa x.
Z równości trójkątów AEF oraz AED mamy oczywisty wniosek, że kąt AEF=a
Dalej mamy:
AE=x*sqrt(10)
BE=x*sqrt(5)
CE=x*sqrt(2)
Zatem kolejne ilorazy:
AE/BE=sqrt(2)
AC/CE=sqrt(2)
CE/BC=sqrt(2)
Dochodzimy teraz do sedna całej łamigłówki.
Otóż z równości powyższych ilorazów jasno wynika, że mamy do czynienia z podobieństwem trójkątów AEC oraz EBC a kąt AEC=b
Oczywistym jest, że kąt FEC=c
Kąt FEC jest oczywiście sumą kątów AEF oraz AEC
Więc c=a+b
O to chodziło?
jeszcze rysunek z oznaczeniami
http://bankfotek.pl/view/1822328
A ja oczywiście zrozumiałem, że chodzi o dowód trygonometryczny
albo na szachownicy łączymy pola a2 z c3 i a2 z d1, a następnie c3 z d1. Jak kogoś nużą te oznaczenia, niech skupi się tylko na szachownicy, od razu widać.
W tego typu zadaniach zazwyczaj trzeba sprytnie coś dorysować, i wszystko staje się jasne. W tym wypadku skupiłem się na kwadracie środkowym z rysunku, tym z zaznaczonym kątem b. Niech wierzchołek tego kąta nazywa się B, a bok pionowy niech przecina ramię kąta a w punkcie A, oczywiście długość odcinka AB jest równa 1/3 boku kwadratu. Teraz łączymy punkt A z prawym dolnym wierzchołkiem środkowego kwadratu, niech to będzie C, czyli jakby odbijamy symetrycznie ramię kąta a względem prostej AB. Ten odcinek przecina ramię kąta b w punkcie P. Jeśli w punkcie P umieścimy początek układu współrzędnych, to przesuwając się zeń o wektor (2,1) znajdziemy się na ramieniu kąta b, a przesuwając o wektor (3,-1) – na tym „odbitym” ramieniu kąta a, czyli PC. Łącząc te punkty, dostajemy trzeci bok trójkąta, odpowiedni wektor ma współrzędne (1,-2), tak więc jest prostopadły do (2,1) i oczywiście tak samo długi, a więc mamy trójkąt równoramienny prostokątny, w którym poszukiwany kąt przy wierzchołku P ma 45°, a on jest równy sumie kątów a i b, o którą chodzi. Łatwiej niż czytać o tych wektorach, narysować to sobie, zwłaszcza na kartce w kratkę
Można też inaczej, np. poprowadźmy wysokość z P na bok BC do punktu S: łatwo zauważyć, że punkt S dzieli odcinek BC w stosunku 2:3, czyli jeśli BC jest równe np. 10, to BS = 4, SC = 6 (a SP = 2). Tym samym możemy obliczyć wszystkie boki trójkąta rozwartokątnego BPC, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Trójkąt jest rozwiązany i na parę sposobów (najszybciej chyba z porównania wzorów na pole, bo wysokość jest znana) można obliczyć kąt rozwarty BPC, który wychodzi 135°, a więc suma kątów a i b jest 45°, c.n.d.
No ale znów może być zastrzeżenie, bo jednak pod koniec wchodzi trygonometria, jako że poznajemy kąt po jego sinusie, czy cosinusie
To jest chyba najprostszy dowód graficzny ???
http://pokazywarka.pl/kagfd8/
Tak, to jest TO!
mp
Looking on the most right of the three squares:
The two lines divide the left side of the rightmost square in three sections. The one at the bottom represents angle B, the one at the top represents angle A (top triangle in the rightmost square is identical with the bottom triangle of the leftmost square), and the middle section represents the difference between angle C and the sum of angles A and B.
Taki artykuł znalazłem: http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/gry_zagadki_paradoksy/2014/11/28/Polszczyzna_z_wloszczyzna/
Ja mam w streszczeniu dokładnie to co Spytko, i inni, tylko zamiast jednego rysunku, użyłem tysiąca słów