Jeszcze rok

3 maja 2025
Marek Penszko

2025 jest, jak wiadomo, kwadratem, ale mało kto wie, że należy także do tzw. liczb pełnopotęgowych, czyli takich, w rozkładzie których na czynniki pierwsze każdy czynnik występuje przynajmniej dwukrotnie. Jest też szczególnym rodzajem takich liczb – stanowi iloczyn dwu różnych potęg różnych czynników pierwszych: 3^4*5^2. Można ją nawet zaliczyć do jeszcze bardziej elitarnego grona, bowiem jest także sumą dwóch różnych potęg (różne podstawy i wykładniki) – również, jak w przypadku iloczynu – na jeden sposób: 6^4+3^6. Nie znalazłem mniejszej liczby spełniającej wszystkie podane rygorystyczne własności. Wydaje się, że do większej też jest droga daleka.
Liczbami pełnopotęgowymi zajmowało się wielu teoretyków liczb, także tych z górnej półki (np. Paul Erdös), ale ich publikacje są dalekie od matematyki dla maluczkich. Pozostając na poziomie elementarnym warto zauważyć, że podziałów, czyli partycji 2025 na trzy potęgi jest ponad 20. Najłatwiej trafić w te „okrągłe” – w rodzaju 10^3+10^3+5^2 lub 40^2+20^2+5^2.
Proszę spróbować znaleźć dwie specyficzne partycje 2025 na trzy potęgi: w każdej z nich jedna potęga powinna być 1-cyfrowa, druga 3-cyfrowa, a trzecia 4-cyfrowa.

Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.