Collatzia

Lubię żartobliwe neologizmy, stąd tytułowa kolacja, określająca ogół spraw związanych z hipotezą Collatza, o której pisałem w majowym „Świecie Nauki”. Było tam też zadanie zasługujące na bis po małej zmianie. Zacząć wypada jednak od przypomnienia hipotezy.
Dowolną liczbę naturalną dodatnią traktujemy na jeden z dwóch sposobów:
– jeśli jest parzysta, dzielimy ją przez 2;
– jeśli jest nieparzysta, mnożymy ją przez 3 i dodajemy 1.
Otrzymany wynik i każdy kolejny podlega takiej samej dwuwariantowej obróbce. Okazuje się, że niezależnie od wyboru liczby startowej, zawsze dotrzemy do liczby 1, a ściślej wpadniemy w cykl [-1-4-2-] Ustalił to przed prawie 100 laty niemiecki matematyk Lothar Collatz, ale nie udowodnił i dotąd nikt stwierdzenia Collatza w twierdzenie nie zmienił, ani też hipotezy nie obalił. Tylko komputery mocno skłaniają się ku twierdzeniu, bo sprawdziły wszystkie liczby do 21-cyfrowych i zawsze docierały do jedynki. Gwoli jasności – oto ciąg Collatza zaczynający się od mojej szczęśliwej liczby 28:
28-14-7-22-11-34-17-52-26-13-40-20-10-5-16-8-4-2-1-4-
Teraz uogólnienie:
Dowolną liczbę całkowitą dodatnią traktujemy na jeden z dwóch sposobów:
– jeśli jest podzielna przez a, dzielimy ją przez a;
– jeśli nie jest wielokrotnością a, mnożymy ją przez b i dodajemy c.
Dla ciągu Collatza a=2, b=3, c=1.
Zmiana przynajmniej jednej z tercetu liczb {a, b, c} na inną liczbę całkowitą dodatnią powoduje, że ciąg Collatza traci specyficzną kolacyjną vel kolacjową własność – nie wpada zawsze w taki sam cykl niezależnie od liczby startowej S, a nawet może być nieskończony (stale rosnący). Na przykład, jeżeli a=2, b=3, c=5, pętle bywają różne dla różnych S:
[-1-8-4-2-], gdy S=2 lub 9;
[-5-20-10-] jeśli S=5;
[-19-62-31-98-49-152-76-38-], dla S=3, 6, 7, 11 i wielu innych.
Kolej na wspomniane zadanie, które wydaje się karkołomne.
Proszę znaleźć takie wartości a (najmniejszą możliwą), b i c, aby oparty na tych wartościach ciąg, po rozpoczęciu go od odpowiedniej liczby startowej S, wpadał w cykl złożony z liczby wyrazów równej znajdującej się w tym cyklu najmniejszej liczbie, która powinna być większa od 3. Podane wyżej trzy cykle nie spełniają tych warunków: pierwszy jest 4-wyrazowy z jedynką, drugi 3-wyrazowy z najmniejszą liczbą 5, trzeci liczy 8 wyrazów, z których najmniejszy to 19.

Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.

Komentarze

[bubka111]

a=2,b=15,c=5,s=5

Ciąg:
5
5×15+5=80
40
20
10
5

Cykl
5
80
40
20
10

[jarek1962]

a=2, b=3, c=23, S=7
7, 44, 22, 11, 56, 28, 14

[jarek1962]

a=2, b=3, c=65, S=5
5, 80, 40, 20, 10

a=2, b=3, c=427, S=7
7, 448, 224, 112, 56, 28, 14

n=nieparzysta
a=2, b=3, c=n*(2^(n-1)-3), S=n

[Antyp1958]

a = 2, b = 1, c = 15, start np. S = 7.
Ciąg: 7 22 11 26 13 28 14 7
no ale to banał – bo mnożenie przez 1 za to jest najmniejsze możliwe, („a” oczywiście nie może być 1)

a = 2, b = 2, c = 62
Cykl: 11 84 42 21 104 52 26 13 88 44 22 11

a = 2, b = 3, c = 23
Cykl: 7 44 22 11 56 28 14 7 (powtórzenie za kolacją – tylko c zamiast 1 to 23)

[Andrew_W]

Najmniejsze możliwe a: 2
Parametry mnożenia i dodawania: b = 1, c = 75
Liczba startowa (najmniejsza w cyklu): S = 5
Długość cyklu: 5
Wyrazy w pętli: [-5-80-40-20-10-]

[apartado]

Można tak:

Ciąg:
5, 80, 40, 20, 10

Liczba wyrazów ciągu: 5
a: 2
b: 1
c: 75

Można też tak:

Ciąg:
99, 6504, 3252, 1626, 813, 7218, 3609, 10014, 5007, 11412, 5706, 2853, 9258, 4629, 11034, 5517, 11922, 5961, 12366, 6183, 12588, 6294, 3147, 9552, 4776, 2388, 1194, 597, 7002, 3501, 9906, 4953, 11358, 5679, 12084, 6042, 3021, 9426, 4713, 11118, 5559, 11964, 5982, 2991, 9396, 4698, 2349, 8754, 4377, 10782, 5391, 11796, 5898, 2949, 9354, 4677, 11082, 5541, 11946, 5973, 12378, 6189, 12594, 6297, 12702, 6351, 12756, 6378, 3189, 9594, 4797, 11202, 5601, 12006, 6003, 12408, 6204, 3102, 1551, 7956, 3978, 1989, 8394, 4197, 10602, 5301, 11706, 5853, 12258, 6129, 12534, 6267, 12672, 6336, 3168, 1584, 792, 396, 198

Liczba wyrazów ciągu: 99
a: 2
b: 1
c: 6405

Wykres w linku obrazuje ciekawą „trajektorię” powyższego ciągu.
(uwaga – wykres kończy się na 99 – setny element dla wizualizacji dopełnienia cyklu)

https://zapodaj.net/plik-IJiZOAL9cW

[ersonasolidna]

a=3, b=1 i c=16, dostaniemy dla S=4 cykl [-4-20-36-12-]
Z tą odpowiedzią są jednak dwa problemy:
– b=1 to jednak trochę oszustwo – co to za mnożenie przez 1?
– to jest dokładnie ta sama odpowiedź, co na zadanie 3 w majowym ŚN – w zasadzie to nie wiem, na czym polega zmiana w tym zadaniu względem zadania z ŚN.

Swoją drogą, to zadanie w majowym Świecie Nauki było absolutnie koszmarne:)

Zmiana kosmetyczna – tylko liczby dodatnie.
mp