Collatzia

Lubię żartobliwe neologizmy, stąd tytułowa kolacja, określająca ogół spraw związanych z hipotezą Collatza, o której pisałem w majowym „Świecie Nauki”. Było tam też zadanie zasługujące na bis po małej zmianie. Zacząć wypada jednak od przypomnienia hipotezy.
Dowolną liczbę naturalną dodatnią traktujemy na jeden z dwóch sposobów:
– jeśli jest parzysta, dzielimy ją przez 2;
– jeśli jest nieparzysta, mnożymy ją przez 3 i dodajemy 1.
Otrzymany wynik i każdy kolejny podlega takiej samej dwuwariantowej obróbce. Okazuje się, że niezależnie od wyboru liczby startowej, zawsze dotrzemy do liczby 1, a ściślej wpadniemy w cykl [-1-4-2-] Ustalił to przed prawie 100 laty niemiecki matematyk Lothar Collatz, ale nie udowodnił i dotąd nikt stwierdzenia Collatza w twierdzenie nie zmienił, ani też hipotezy nie obalił. Tylko komputery mocno skłaniają się ku twierdzeniu, bo sprawdziły wszystkie liczby do 21-cyfrowych i zawsze docierały do jedynki. Gwoli jasności – oto ciąg Collatza zaczynający się od mojej szczęśliwej liczby 28:
28-14-7-22-11-34-17-52-26-13-40-20-10-5-16-8-4-2-1-4-
Teraz uogólnienie:
Dowolną liczbę całkowitą dodatnią traktujemy na jeden z dwóch sposobów:
– jeśli jest podzielna przez a, dzielimy ją przez a;
– jeśli nie jest wielokrotnością a, mnożymy ją przez b i dodajemy c.
Dla ciągu Collatza a=2, b=3, c=1.
Zmiana przynajmniej jednej z tercetu liczb {a, b, c} na inną liczbę całkowitą dodatnią powoduje, że ciąg Collatza traci specyficzną kolacyjną vel kolacjową własność – nie wpada zawsze w taki sam cykl niezależnie od liczby startowej S, a nawet może być nieskończony (stale rosnący). Na przykład, jeżeli a=2, b=3, c=5, pętle bywają różne dla różnych S:
[-1-8-4-2-], gdy S=2 lub 9;
[-5-20-10-] jeśli S=5;
[-19-62-31-98-49-152-76-38-], dla S=3, 6, 7, 11 i wielu innych.
Kolej na wspomniane zadanie, które wydaje się karkołomne.
Proszę znaleźć takie wartości a (najmniejszą możliwą), b i c, aby oparty na tych wartościach ciąg, po rozpoczęciu go od odpowiedniej liczby startowej S, wpadał w cykl złożony z liczby wyrazów równej znajdującej się w tym cyklu najmniejszej liczbie, która powinna być większa od 3. Podane wyżej trzy cykle nie spełniają tych warunków: pierwszy jest 4-wyrazowy z jedynką, drugi 3-wyrazowy z najmniejszą liczbą 5, trzeci liczy 8 wyrazów, z których najmniejszy to 19.

Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.