Czworaczki ciągiem
Powracam do czworaczków, które debiutowały tu pod koniec stycznia, a pretekstem do powtórki jest zadanie z majowego „Świata Nauki”. Przypomnę, że czworaczki są kwadratem 2×2 z czterema liczbami w czterech kratkach, a taki kwadrat stanowi jedną z kilku części większego wypełnionego liczbami kwadratu n×n. W kwadracie 3×3 takie części są cztery, w kwadracie 4×4 – dziewięć, w kwadracie 5×5 – szesnaście, czyli ogólnie w kwadracie n×n można wskazać (n–1)^2 czworaczków.
Już dla kwadratu 3×3 nietrudno o niełatwe zadania z czworaczkami. Jedno z nich polega na takim wpisaniu do tego kwadratu dziewięciu liczb od 1 do 9, aby suma czterech liczb w każdym czworaczku była jednakowa.
Przykładowe rozwiązanie z sumą 17 stanowi jakby szczególny rodzaj kwadratu magicznego.
Obok przykładu jest propozycja innego „magicznego” zadania. Liczby od 1 do 9 trzeba wpisać do kratek diagramu 3×3 tak, aby sumy A, B, C, D tworzyły ciąg arytmetyczny o największej możliwej różnicy. Jak to zrobić?
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
różnica = 6
A,B,C,D = 11,17,23,29
kwadrat:
2,1,4
3,5,7
6,9,8
To akurat nie moje rozwiązanie, lecz koleżanki Ady, więc w jej imieniu:
Na pewno nie da się osiągnąć różnicy większej niż 6, bo gdyby różnica ta była większa lub równa 7, największa z czterech sum byłaby nie mniejsza niż (1+2+3+4) + 3*7 = 31, co jest niemożliwe (górny limit to 30).
Układ, który daje różnicę 6:
2, 1, 4,
3, 5, 7,
6, 9, 8.
A = 11, B = 17, C = 23, D = 29
Największa różnica : 6
Układ :
2 1 4
3 5 7
6 9 8
11; 17; 23; 29
Czyżby rozwiązanie było aż tak proste?
1) minimalna suma czterech liczb to 10=1+2+3+4
2) maksymalna suma to 30=6+7+8+9
3) zakres daje się podzielić na cztery elementy ciągu o największej różnicy równej 6, bo 7 już wychodzi poza 10 lub 30
4) możliwe wyrazy ciągu to jeden z trzech wariantów {10,16,22,28} lub {11,17,23,29} lub {12,18,24,30}
5) największy i najmniejszy wyraz ciągu powinien być naprzeciw siebie, po przekątnej, bo składniki tych sum na siebie nie zachodzą, są wszystkie różne od siebie
ciąg sum czworaczkowych: 11,17,23,29
różnica: 6
Czy zadanie dla wytrwałych to rozmiar 4×4 ?
O które zadanie chodzi?
Największa możliwa różnica to 6 dla sum: 11 17 23 29
Drugie w kolejności rozwiązanie to różnica 5 dla sum 15 20 25 30
214
357
698
Ciąg: 11, 17, 23, 29
Maksymalna możliwa różnica między D i A będzie wtedy, gdy (bez pola środkowego) w czwórce A będą liczby 1, 2 i 3, a w czwórce D 7, 8 i 9, czyli 24-6 = 18. Maksymalna możliwa różnica ciągu arytmetycznego byłaby więc równa 6, co oznacza, że albo A, B, C i D będą wszystkie parzyste, albo wszystkie nieparzyste. Jeśli w środku będzie liczba parzysta, 4 lub 6, to ten warunek nie zostanie spełniony, bo A i D będą parzyste (suma dwóch liczb parzystych i dwóch nieparzystych), a jedna z liczb B lub C będzie nieparzysta (suma trzech liczb nieparzystych i jednej parzystej). Stąd w środku może być tylko 5. I mamy rozwiązanie:
214
357
698
A, B, C i D są równe, kolejno, 11, 17, 23 i 29.
Mój zaprzyjaźniony, wspominany w poprzednich wpisach, programista Eryk otrzymał to samo, kwitując, że łatwe, bo „tylko” 9! możliwości, i nie trzeba się kłopotać o warunki ograniczające.
2 1 4
3 5 7
6 9 8
różnica w ciągu wynosi 6
@Gospodarz
Miałem na myśli zadanie tytułowe dla rozmiaru planszy 4×4:
Liczby od 1 do 16 trzeba wpisać do kratek diagramu 4×4 tak, aby sumy czworaczkowe tworzyły ciąg arytmetyczny o największej możliwej różnicy.
Takiego zadania w ogóle nie przerabiałem. Mam wrażenie, że jest ono dla bardzo wytrwałych. Może ktoś sie z nim zmierzy – zwłaszcza przy wsparciu komputerowym.
mp
To może ja zacznę licytację:
ciąg sum czworaczkowych 29,30,31,32,33,34,35,36,37
różnica 1
@apartado
Może niekoniecznie jest takie trudne… Może nawet można je rozwiązać bez wspomagania komputerowego? Z analizy warunków, jak o tym pisałem powyżej wynika:
1) minimalna możliwa suma 1+2+3+4=10
2) maksymalna możliwa suma to 16+15+14+13=58
3) wyrazów ciągu musi być 9, a więc (58-10)/9=5+3/9 czyli maksymalna (teoretyczna) różnica pomiędzy wyrazami ciągu to 6. To tak samo jak dla rozwiązania w kwadracie 3×3.
4) jedyne możliwe wyrazy ciągu to te zaczynające się od pierwszego wyrazu 10, bo inne wychodziłyby poza zakresy możliwych sum
10, 16, 22, 28, 34, 40, 46, 52, 58
5) najbardziej obiecujący wydaje się układ symetryczny, z sumami mini i maxi na przeciwległych narożnikach – co w jednej strefie może być dodane, to w symetrycznej do niej można by ująć.
Pierwsza przymiarka:
1,3,?,?
4,2.?,?
?,?,15,13
?,?,14,16
Dalej trzeba by najpierw zbadać kwadrat środkowy (z 2 i 15), przymierzając resztę, choćby z użyciem arkusza kalkulacyjnego.
Kto to dokończy? Czy jest tylko jeden wariant rozwiązania z 6?
___
A jeśli nie istnieje żadne rozwiązanie z różnicą ciągu 6, to jak wyglądałoby ono z piątką? I ile takich rozwiązań może być?
Układ 4×4:
3 16 7 13
8 15 12 14
9 2 1 11
6 5 10 4
Sumy czworaczków (posortowane):
[18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50]
Nie wiem, czy możliwy jest ciąg z różnicą 5
Podnoszę poziom licytacji do 5:
kolejne (wierszami od lewej) sumy czworaczkowe:
24,14,19,39,34,29,49,54,44
arytmetyczny ciąg sum czworaczkowych:
14,19,24,29,34,39,44,49,54
różnica 5
Kto z Państwa da sześć?
Układ z różnicą 5
4 9 14 12
8 3 13 10
1 2 16 15
11 5 6 7
Sumy 9 czworaczków (2×2):
[14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54]
Różnica 5
Rozwiązanie 1:
11 12 14 10
15 16 7 13
5 3 8 1
4 2 6 9
Sumy czworaczków: [14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54]
——————————
Rozwiązanie 2:
5 15 12 11
16 13 14 7
4 6 1 2
10 9 3 8
Sumy czworaczków: [14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54]
——————————
Rozwiązanie 3:
5 15 12 2
13 11 1 4
16 14 3 6
10 9 8 7
Sumy czworaczków: [14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54]
——————————
Rozwiązanie 4:
13 3 5 6
1 2 4 9
14 12 16 10
8 15 11 7
Sumy czworaczków: [14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54]
——————————
Rozwiązanie 5:
10 3 8 6
2 4 14 16
1 7 9 15
5 11 12 13
Sumy czworaczków: [14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54]
——————————
Różnica 6
10 7 6 5
15 14 1 4
13 16 3 2
11 12 9 8
Sumy czworaczków: [10, 16, 22, 28, 34, 40, 46, 52, 58]
——————————
@Antyp1958
Ładna systematyka 😉
Dla uzupełnienia jeszcze rozwiązanie w układzie zaproponowanym przez @grgkh:
kolejne (wierszami od lewej) sumy czworaczkowe:
10,22,40,16,34,52,28,46,58
arytmetyczny ciąg sum czworaczkowych:
10,16,22,28,34,40,46,52,58
różnica 6
Skoro rozmiar 4×4 mamy „odrobiony” to zalicytujmy coś z 5×5:
kolejne (wierszami od lewej) sumy czworaczkowe:
53,57,50,55,58,46,51,54,60,49,56,52,59,47,61,48
arytmetyczny ciąg sum czworaczkowych:
46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61
różnica 1
Dla siatki 5×5 zawierającej liczby od 1 do 25:
Możliwy jest ciąg sum czworaczków o różnicy 1.
[[6, 19, 20, 11, 5],
[14, 18, 2, 13, 25],
[16, 10, 23, 22, 1],
[9, 15, 7, 4, 21],
[8, 17, 12, 24, 3]]
[46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61]
Niemożliwa jest różnica 2, 3, …, 6
@Antyp1958
Zalicytujmy rozmiar 5×5 odrobinę wyżej:
kolejne (wierszami od lewej) sumy czworaczkowe:
38,48,56,52,40,54,44,42,50,68,64,66,46,62,58,60
arytmetyczny ciąg sum czworaczkowych:
38,40,42,44,46,48,50,52,54,56,58,60,62,64,66,68
różnica 2
[ 5, 20, 16, 2, 15]
[ 1, 17, 24, 10, 7]
[22, 21, 18, 19, 4]
[ 9, 3, 25, 12, 11]
[14, 23, 13, 8, 6]
Ciąg prawie arytmetyczny wszystkie różnice oprócz jednej =3 no i niestety jedna 4. Z różnicą 2 znalazłem kilka.
kolejne (wierszami od lewej) sumy czworaczkowe:
35,30,20,40,65,50,15,25,75,80,55,45,60,90,85,70
arytmetyczny ciąg sum czworaczkowych:
15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90
Różnica 5 – to maksimum teoretyczne dla 5×5.
Mózg mi odparował , dalej nie walczę
[14, 2, 15, 7, 13, 9]
[ 1, 21, 3, 19, 8, 20]
[ 5, 26, 6, 31, 4, 33]
[25, 12, 27, 10, 32, 11]
[29, 17, 30, 22, 28, 24]
[16, 36, 18, 34, 23, 35]
Suma każdego z 25 czworaczków (2×2) to:
[38, 41, 44, 47, 50, …, 107, 110]
Program sprawił mi miłą niespodziankę
[2, 3, 15, 13, 8, 6]
[10, 11, 1, 5, 12, 16]
[21, 4, 34, 14, 27, 7]
[18, 23, 9, 17, 20, 28]
[19, 26, 32, 36, 25, 29]
[31, 30, 22, 24, 33, 35]
Sums: [26, 30, 34, 38, 42, 46, 50, 54, 58, 62, 66, 70, 74, 78, 82, 86, 90, 94, 98, 102, 106, 110, 114, 118, 122]